Marmara Üniversitesi

Merkezî Yığılma ve Yayılma Ölçüleri



MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ

Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz. Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn., Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir.

Aritmetik Ortalama

image004

a) Aritmetik ortalamanın ham verilerden hesaplanması

Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir. Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir. Formülle gösterirsek;

image006 ya da image008

En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır.

Örnek-1:

Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış. Ortalamasını hesaplayınız.

image010

Örnek-2:

6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları 196, 179, 182, 187, 193, 192 cm.’dir. Takımın boy ortalamasını bulalım:

image012

b) Aritmetik ortalamanın tekrarlanan verilerden hesaplanması

Ağırlık Frekans fx
24 2 48
23 3 69
22 3 66
21 3 63
20 3 60
19 5 95
18 6 108
17 2 34
16 6 96
15 4 60
14 0 0
13 2 26
12 1 12
  N=40 Σfx=737

image014

image016

c) Aritmetik ortalamanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması

Puanlar Frekans Orta Nokta xo fxo
85–89 2 87 174
80–84 1 82 82
75–79 4 77 308
70–74 9 72 648
65–69 13 67 871
60–64 26 62 1612
55–59 19 57 1083
50–54 12 52 624
45–49 8 47 376
40–44 3 42 126
35–39 2 37 74
30–34 1 32 32
  N=100 Σfxo=6010 Σfx=61,10

image018

image020

Geometrik Ortalama

Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.

image022

Geometrik ortalama

  • Ölçümler arasındaki değişme oranı
  • Gelişme ve büyüme hızı
  • İndeks saptamada kullanılır.

ÖRNEK:

Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak 1940 yılında 100 TL.; 1950 yılında 200 TL.; 1960 yılında 600 TL.; olarak gerçekleşmiştir. Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız.

1940 1950 1960
100 (2 kat) 200 (3 kat) 600

image024

Harmonik Ortalama

Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır.

image026

image028

ÖRNEK:

Bir koşucu koştuğu 800m’lik parkurun ilk 400m’sini 80 saniyede, ikinci 400m’lik mesafesini ise 100 saniyede koşmuştur. Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız.

İlk 100m’de         5m/sn hız
İkinci 100m’de    4m/sn hız

image030

Kısa yol (oranlama yöntemi)

image032

Ortalamaların Ortalaması

image034 ya da image036

Ortanca (Medyan)

a) Ortancanın ham verilerden hesaplanması

Ortanca (ortn., medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir. Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdir. Formülle gösterirsek:

a) veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se

image038‘nci değer

b) veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se

image040‘nci değer

Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur.

Örnek-1:

Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (100, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım.

Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”

image043image043-1 image045. değer (Ortn=93).

Örnek-2:

Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar. Dağılımın ortancasını hesaplayalım.

(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)

Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”

image046image048image045. değer.

Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır. Bu durumda ortanca;

image051   image053olarak bulunur.

b) Ortancanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması

Puanlar Frekans tf (yf)
85–89 2 100
80–84 1 98
75–79 4 97
70–74 9 93
65–69 13 84
60–64 26 71
55–59 19 45
50–54 12 26
45–49 8 14
40–44 3 6
35–39 2 3
30–34 1 1
  N=100  

image055

L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)

  • Grup 100 kişi; o halde medyan 100/2=50. kişi.
  • Toplam frekans (tf) sütununda 50. kişinin 60-64 aralığında olduğu anlaşılıyor.

image057

image059

image061

(Ortanca aynı zamanda Y50 veya Q2 olarak da isimlendirilir. Bir diğer deyişle medyan 50. yüzdeliktir. )

Yüzdelikler

image067

image069

image071

L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı

Mod (Tepedeğer)

Gözlem sonucunda elde edilen verilerin en çok tekrar edilenine “mod” denir. Mod oldukça kaba bir merkezî eğilim ölçüsüdür. Ortalama ve ortanca gibi değerlerin hesaplanma olanağı bulunmadığı durumlarda kullanılabilir. Bir başka ifade ile mod en yüksek frekansa sahip değerdir.

Örnek: 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,5,6,6,8 Mod: 3

MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ

Bir grubun belli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezî eğilim ölçüleri yanında yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Verilerin birbirlerinden ne kadar ayrıldıkları veya bir doğru üzerinde yayılmalarının nasıl olduğu da önemlidir. Örneğin iki ayrı sınıfta öğrencilerin ölçme ve değerlendirme dersi not ortalaması 40 olsun. Buna dayanarak her iki sınıfın başarı düzeyleri aynıdır diyebilir miyiz? İlk etapta bu soruya “evet” denilebilir. Ancak bir de şunları bilelim: Bir sınıfta notlar 35-40 puan arasında iken, diğer sınıfta 15-75 arasında olsun. Bu durumda her iki sınıfın düzeylerinin farklı olduğu; aritmetik ortalamaların da başarı düzeyini açıklamakta pek yeterli olmadığı anlaşılacaktır. Böyle durumlarda merkezî yığılma ölçülerinin yanı sıra merkezî yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün, bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini bir karara bağlamak ve her hangi bir ölçümün, grup ortalamasının ne kadar altında ve üstünde olduğunu (yani ölçümlerin grup içindeki yerini) göstermek için merkezî yayılma ölçüleri kullanılır.

Genişlik (ranj), standart sapma (ss), ortalama sapma ve çeyrek sapma merkezî yayılma ölçüleridir.

Genişlik (Ranj):

Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve hesaplanışı en kolay olanıdır. Gözlenen ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark ya da açıklık bize ranjı verir. Ranj özellikle veri sayısının çok olduğu durumlarda güvenilir değildir.

Örnek:
Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45, 50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır. Dağılımın ranjını bulalım:

Ranj=91-23=68’dir.

Standart Sapma

Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır. İstatistikte en çok kullanılan yayılma ölçüsüdür. Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmanın bir ölçüsünü verir. Formülle gösterirsek;

image073 image075

Örnek:

Aşağıda bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir. Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız.

30 70
60 30
70 65
55 70
40 50
20 50
80 60
30 35
70 30
65 40
55 50
60 40
40 20
30 10
55 20
n=30
Σx=1400
x=46,66
Σx²=75250

image077image079=image081=image083

image085=image087