MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ
Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz. Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn., Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir.
Aritmetik Ortalama
a) Aritmetik ortalamanın ham verilerden hesaplanması
Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir. Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir. Formülle gösterirsek;
ya da 
En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır.
Örnek-1:
Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış. Ortalamasını hesaplayınız.
Örnek-2:
6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları 196, 179, 182, 187, 193, 192 cm.’dir. Takımın boy ortalamasını bulalım:
b) Aritmetik ortalamanın tekrarlanan verilerden hesaplanması
| Ağırlık | Frekans | fx |
|---|---|---|
| 24 | 2 | 48 |
| 23 | 3 | 69 |
| 22 | 3 | 66 |
| 21 | 3 | 63 |
| 20 | 3 | 60 |
| 19 | 5 | 95 |
| 18 | 6 | 108 |
| 17 | 2 | 34 |
| 16 | 6 | 96 |
| 15 | 4 | 60 |
| 14 | 0 | 0 |
| 13 | 2 | 26 |
| 12 | 1 | 12 |
| N=40 | Σfx=737 |
c) Aritmetik ortalamanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
| Puanlar | Frekans | Orta Nokta xo | fxo |
| 85–89 | 2 | 87 | 174 |
| 80–84 | 1 | 82 | 82 |
| 75–79 | 4 | 77 | 308 |
| 70–74 | 9 | 72 | 648 |
| 65–69 | 13 | 67 | 871 |
| 60–64 | 26 | 62 | 1612 |
| 55–59 | 19 | 57 | 1083 |
| 50–54 | 12 | 52 | 624 |
| 45–49 | 8 | 47 | 376 |
| 40–44 | 3 | 42 | 126 |
| 35–39 | 2 | 37 | 74 |
| 30–34 | 1 | 32 | 32 |
| N=100 | Σfxo=6010 | Σfx=61,10 |
Geometrik Ortalama
Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.
Geometrik ortalama
- Ölçümler arasındaki değişme oranı
- Gelişme ve büyüme hızı
- İndeks saptamada kullanılır.
ÖRNEK:
Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak 1940 yılında 100 TL.; 1950 yılında 200 TL.; 1960 yılında 600 TL.; olarak gerçekleşmiştir. Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız.
| 1940 | 1950 | 1960 |
| 100 (2 kat) | 200 (3 kat) | 600 |
Harmonik Ortalama
Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır.
ÖRNEK:
Bir koşucu koştuğu 800m’lik parkurun ilk 400m’sini 80 saniyede, ikinci 400m’lik mesafesini ise 100 saniyede koşmuştur. Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız.
İlk 100m’de 5m/sn hız
İkinci 100m’de 4m/sn hız
Kısa yol (oranlama yöntemi)
Ortalamaların Ortalaması
ya da 
Ortanca (Medyan)
a) Ortancanın ham verilerden hesaplanması
Ortanca (ortn., medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir. Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdir. Formülle gösterirsek:
a) veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se
‘nci değer
b) veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se
‘nci değer
Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur.
Örnek-1:
Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (100, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım.
Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”
. değer (Ortn=93).
Örnek-2:
Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar. Dağılımın ortancasını hesaplayalım.
(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)
Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”
. değer.
Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır. Bu durumda ortanca;
olarak bulunur.
b) Ortancanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
| Puanlar | Frekans | tf (yf) |
|---|---|---|
| 85–89 | 2 | 100 |
| 80–84 | 1 | 98 |
| 75–79 | 4 | 97 |
| 70–74 | 9 | 93 |
| 65–69 | 13 | 84 |
| 60–64 | 26 | 71 |
| 55–59 | 19 | 45 |
| 50–54 | 12 | 26 |
| 45–49 | 8 | 14 |
| 40–44 | 3 | 6 |
| 35–39 | 2 | 3 |
| 30–34 | 1 | 1 |
| N=100 |
L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)
- Grup 100 kişi; o halde medyan 100/2=50. kişi.
- Toplam frekans (tf) sütununda 50. kişinin 60-64 aralığında olduğu anlaşılıyor.
(Ortanca aynı zamanda Y50 veya Q2 olarak da isimlendirilir. Bir diğer deyişle medyan 50. yüzdeliktir. )
Yüzdelikler
L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı
Mod (Tepedeğer)
Gözlem sonucunda elde edilen verilerin en çok tekrar edilenine “mod” denir. Mod oldukça kaba bir merkezî eğilim ölçüsüdür. Ortalama ve ortanca gibi değerlerin hesaplanma olanağı bulunmadığı durumlarda kullanılabilir. Bir başka ifade ile mod en yüksek frekansa sahip değerdir.
Örnek: 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,5,6,6,8 Mod: 3
MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ
Bir grubun belli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezî eğilim ölçüleri yanında yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Verilerin birbirlerinden ne kadar ayrıldıkları veya bir doğru üzerinde yayılmalarının nasıl olduğu da önemlidir. Örneğin iki ayrı sınıfta öğrencilerin ölçme ve değerlendirme dersi not ortalaması 40 olsun. Buna dayanarak her iki sınıfın başarı düzeyleri aynıdır diyebilir miyiz? İlk etapta bu soruya “evet” denilebilir. Ancak bir de şunları bilelim: Bir sınıfta notlar 35-40 puan arasında iken, diğer sınıfta 15-75 arasında olsun. Bu durumda her iki sınıfın düzeylerinin farklı olduğu; aritmetik ortalamaların da başarı düzeyini açıklamakta pek yeterli olmadığı anlaşılacaktır. Böyle durumlarda merkezî yığılma ölçülerinin yanı sıra merkezî yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün, bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini bir karara bağlamak ve her hangi bir ölçümün, grup ortalamasının ne kadar altında ve üstünde olduğunu (yani ölçümlerin grup içindeki yerini) göstermek için merkezî yayılma ölçüleri kullanılır.
Genişlik (ranj), standart sapma (ss), ortalama sapma ve çeyrek sapma merkezî yayılma ölçüleridir.
Genişlik (Ranj):
Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve hesaplanışı en kolay olanıdır. Gözlenen ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark ya da açıklık bize ranjı verir. Ranj özellikle veri sayısının çok olduğu durumlarda güvenilir değildir.
Örnek:
Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45, 50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır. Dağılımın ranjını bulalım:
Ranj=91-23=68’dir.
Standart Sapma
Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır. İstatistikte en çok kullanılan yayılma ölçüsüdür. Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmanın bir ölçüsünü verir. Formülle gösterirsek;
Örnek:
Aşağıda bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir. Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız.
| 30 | 70 |
| 60 | 30 |
| 70 | 65 |
| 55 | 70 |
| 40 | 50 |
| 20 | 50 |
| 80 | 60 |
| 30 | 35 |
| 70 | 30 |
| 65 | 40 |
| 55 | 50 |
| 60 | 40 |
| 40 | 20 |
| 30 | 10 |
| 55 | 20 |
| n=30 | |
| Σx=1400 | |
| x=46,66 | |
| Σx²=75250 | |
=
=
=